<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 9 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2011 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627275-0

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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<P>
                                I
 Sumrio

Segunda Parte

Captulo 3 -- Equaes e 
  sistemas do 2 grau
 1- Curiosidades matemticas 
  e equaes :::::::::::::::: 137
 2- Um tipo especial de 
  equao do 2 grau ::::::: 145
 3- A frmula de 
  Bhaskara ::::::::::::::::: 153
 4- Equaes do 2 grau 
  incompletas ::::::::::::::: 177
 5- Clculo mental nas 
  equaes do 2 grau :::::: 186
 Responda rpido: ao sobre 
  equaes do 2 grau :::::: 199
 6- Sistemas de equaes ::: 200

Captulo 4 -- Geometria e 
  medidas: comprimentos
 1- Primeiras relaes 
  mtricas no tringulo 
  retngulo ::::::::::::::::: 213
 2- Outras relaes mtricas 
  no tringulo retngulo :::: 229
 Experincias com tringulos:
  ao sobre o teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::::: 242
 3- Teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::::: 243
 4- Aplicaes do teorema 
  de Pitgoras ::::::::::::: 262
 O teorema de Pitgoras e as 
  figuras espaciais: ao 
  sobre o teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::::: 278

<58>
<tmat. medida c. 9>
<T+137>
Captulo 3 -- Equaes e 
  sistemas do 2 grau

1- Curiosidades matemticas e 
  equaes 

  A Matemtica nos apresenta muitas curiosidades. Por exemplo, sabemos que somar no  o mesmo que multiplicar. No entanto, sem fazer os clculos, voc acreditaria que 6+1,2 e 6'1,2 tm o mesmo resultado? 

<R+>
_`[{figura: dois garotos observam o quadro com duas operaes: 6,0+1,2=7,2 e 1,2"6=7,2_`]
<R->

  Da mesma forma, existe um nmero que somado com 5 d o mesmo resultado que multiplicado por 5. Qual ser esse nmero? 
  Para responder, vamos indicar o nmero procurado por x. A, teremos: x+5=5"x. 
  Essa  uma equao do 1 grau. Seus termos so nmeros ou ento monmios de grau 1, em que o expoente de x  1. 
  J sabemos resolver as equaes do 1 grau em *x*: basta isolar *x*. 

x+5=5x 
 x-5x=-5 
 -4x=-5 
 4x=5 
 x=54=1,25 

  Ento, existe apenas um nmero que somado com 5 d o mesmo resultado que multiplicado por 5.  o nmero 1,25. Confira: 5,00+1,25=6,25; 1,25"5=6,25.
  Agora, vamos ver uma outra 
 situao: 
  Eu deveria dividir 4,5 por um nmero *x*, mas me distra e, em vez da diviso, fiz a subtrao. Ao refazer os clculos, encontrei, no entanto, o mesmo resultado de antes. 
<59>
  Foi muita coincidncia: isso s acontece para dois valores de *x*. Vamos descobrir quais so? 
  Nesse caso, como h uma diviso por *x*, deve-se ter x=0. A equao  fcil de ser montada: 4,5x=4,5-x. 
  Mas no  to simples resolv-la: 

4,5x=4,5-x 
 4,5=x`(4,5-x`) 
 4,5=4,5x-x2 
 x2-4,5x+4,5=0 
 x2 = monmio do 2 grau 

  Essa  uma equao do 2 grau. 
  O nosso tema  justamente a resoluo de equaes do 2 grau. Ao final deste captulo, voc saber encontrar as duas solues de x2-4,5x+4,5=0. 
  Elas so 3 e 1,5. 
  Por enquanto, voc pode conferir. Assim: 
<P>
x2-4,5x+4,5=0
 x=3 
 9-13,5+4,5=0
 x=1,5 
 2,25-6,75+4,5=0 

  Tambm podemos conferir na fonte, lembrando que a diviso de 4,5 por *x* deve ter o mesmo resultado da subtrao. Faremos isso com x=3, deixando a seu encargo o caso em que x=1,5. 4,53,0=4530=1,5.  
 
<60>
Equao do 2 grau 

  Equao do 2 grau na varivel x  toda equao do tipo ax2+bx+
 +c=0, na qual *a*, *b* e *c* so nmeros reais, e a=0. 

  No estudo das equaes do 2 grau, as letras *a*, *b* e *c* so usadas para representar os coeficientes da equao, nesta ordem: ax2+bx+c=0. 
<P>
Exemplos
 
<R+>
 2x2-11x+5=0  uma equao do 2 grau, com a=2, b=-11 e c=5. 
  x2-3x-10=0  uma equao do 2 grau, com a=1, b=-3 e c=-10. 
  3x2+7x=0  uma equao do 2 grau, com a=3, b=7 e c=0. 
  x2-4=0  uma equao do 2 grau, com a=1, b=0 e c=-4.
<R->

Atividades 

<R+>
1. Qual  o nmero que, somado com 11 ou multiplicado por 11, d, nos dois casos, o mesmo resultado?
 2. Qual  o nmero *x* tal que 4-x=4x? 
 3. Considere os nmeros 1, 2, 3, 4 e 5. Dois deles so solues da equao do 2 grau x2-7x+10=0. Quais so esses nmeros?

4. Considere a equao do 2 grau x2+x-12=0. 
 a) 3  soluo dessa equao? 
  E -3? 
 b) 4  soluo dessa equao? 
  E -4?

5. Considere os nmeros 3, 2, 1 e 0,5. Dois deles so solues de 2x2-5x+2=0. Quais?

6. Em cada equao do 2 grau 
  a seguir, diga quais so os valores de *a*, *b* e *c*: 
 a) 3x2+11x+6=0 
 b) x2+x-2=0 
 c) 2x2-50=0 
 d) x2-4,5x+4,5=0

7. Verifique, usando a calculadora, se -35  uma raiz da equao x2-315x-12.250=0. 
  Ateno: raiz da equao  o mesmo que soluo da equao. 

<61>
<P>
Pensando em casa

8. Responda: 
 a) Qual  o nmero *x* tal que 9+x=9"x? 
 b) Qual  o nmero *y* tal que 9-y=9"y?

9. Qual  a frao que, somada com #=e ou multiplicada por #=e, d, nos dois casos, o mesmo resultado?
 
10. (Saresp) Quais so as razes da equao x2+10x+
  +16=0? 
 a) 2 e 8 
 b) -2 e -8 
 c) 5 e -5 
 d) -16 e -4

11. Verifique, usando a calculadora, se -10,5  raiz da equao 2x2+15x=378.
<P>
12. Em cada equao do 2 grau a seguir, diga quais so os valores de *a*, *b* e *c*: 
 a) 2x2+x-1=0 
 b) -5x2-3x+2=0 
 c) 7x2+14x+7=0 
 d) 2x2-1=0 
 e) x2+x=0 
 f) 10x2-15x=0 

Desafios e surpresas 

1. Para a expresso a seguir, existem dois nmeros reais 
  que podem ser colocados no 
  lugar de ... quais so eles? `(...+2`)2=81.
 2. Tambm para a expresso a seguir, existem dois nmeros reais que podem ser colocados no lugar de ... diga quais so eles. `(...-3`)2=5. 

_`[{um homem diz: "Os produtos notveis j foram apresentados no oitavo ano. O interessante  que depois de aprender o padro que existe tudo fica mais fcil, no  mesmo? Voc se lembra do padro para `(a+b`)2?"_`]
<R-> 

               ::::::::::::::::::::::::

<62>
2- Um tipo especial de equao 
  do 2 grau 

  Agora, vamos resolver equaes do 2 grau do tipo `(dx+e`)2=f. O primeiro membro  o quadrado de uma expresso do 1 grau, e o segundo membro, um nmero. Elas so simples de serem resolvidas. 

Exemplos 

<R+>
1. Vamos resolver a equao `(x-2`)2=9. 
  Como h dois nmeros que, elevados ao quadrado, do 9, um sendo 9 e outro sendo -9, vamos escrever: x-2=+:-9; x-2=+:-3. 
  De x-2=3 decorre que x=5 e de x-2=-3 decorre que x=-1. 
  Portanto, essa equao tem duas razes: x=5 e x=-1, ou seja: S=~l5, -1_,. 
  Confira essa resposta, substituindo na equao os valores 
  encontrados. 
 2. Vamos resolver a equao 4x2-12x+9=25. Ela no  muito diferente da anterior, se voc lembrar que 4x2-12x+9  um trinmio quadrado perfeito, que voc aprendeu a fatorar no 8 ano. Veja a resoluo:
  4x2-12x+9=25 
  `(2x-3`)2=25 
  2x-3=+:-25 
  2x-3=+:-5. 
  Resolvendo 2x-3=+5, obtemos x=4. 
  Resolvendo 2x-3=-5, obtemos x=-1. 
  Portanto, essa equao tem duas razes: x=4 e x=-1, ou seja: S=~l4, -1_,. 

<63>
<P>
Atividades

13. Resolva as seguintes 
  equaes: 
 a) `(x-10`)2=36 
 b) `(x+5`)2=4 
 c) `(x2-3`)2=49 
 d) `(x2+5`)2=16 

14. 
 a) Resolva a equao `(5x-2)2=64. 
 b) Confira as solues que voc obteve, substituindo-as na 
  equao.

15. Resolva a equao `(5x-4)2=-9, considerando que x,_r. 
  Resoluo: 
  Temos x,_r, logo `(5x-4),_r. Ento, `(5x-4)2 no pode dar -9, porque no existe nmero real que elevado ao quadrado d um nmero negativo. 
<P>
  Portanto, S=_j; ou seja, a equao no admite solues reais.

16. Resolva as equaes a seguir, sabendo que x,_r: 
 a) `(x-3)2=16 
 b) `(x-3)2=-16 
 c) `(2x3+4`)2=-1 
 d) `(x+2)2=0

17. Quantas so as diferentes solues reais de cada uma das seguintes equaes? 
 a) `(x+8)2=9 
 b) `(x-4)2=-49 
 c) `(x+5)2=0 
 d) `(x-1)2=14

18. Resolva a equao x2-6x+9=16, sabendo que x,_r. 
  Resoluo: 
  Inicialmente, observe que, no primeiro membro, temos um trinmio quadrado perfeito, pois x2-6x+9=`(x-3)2. 
<P>
  Ento: 
  x2-6x+9=16 
  `(x-3)2=16 
  x-3=!:-4 
  x-3=4 :o x=7
  ou 
  x-3=-4 :o x=-1.
  Portanto, x=7 e x=-1. 
  Para conferir, vamos substituir esses nmeros na expresso x2-6x+9=16. 
  Para x=7, temos 49-42+9=16 e 7+9=16, o que  verdade. 
  Para x=-1, temos 1+6+9=16 e 7+9=16, o que tambm  
  verdade. 
  Logo, -1 e 7 so solues.

19. A seguir, cada trinmio  o quadrado de uma expresso, representada por ... Qual  essa expresso? 
 a) x2+8x+16=`(...`)2
 b) x2-10x+25=`(...`)2
 c) 4x2+12x+9=`(...`)2
 d) 16x2-8x+1=`(...`)2 

20. Cada expresso dada  um trinmio quadrado perfeito. Qual  o monmio que est no lugar de ...? 
 a) x2+...+36 
 b) 4x2-...+36 
 c) x2-...+49 
 d) 9x2+...+49

21. Qual  o monmio do 2 grau que deve ser colocado no lugar de ..., para que cada expresso dada seja um trinmio quadrado perfeito? 
 a) ...-16x+64 
 b) ...-16x+4 
 c) ...+44x+121 
 d) ...-44x+4

22. Resolva as equaes, sabendo que x,_r: 
 a) x2-6x+9=49 
 b) x2-2x+1=100 
 c) 4x2-36x+81=9 
 d) 9x2+30x+25=-16 

<64>
<P>
Pensando em casa

23. Sabendo que x,_r, resolva as equaes: 
 a) `(x-4)2=81 
 b) `(x+1)2=100 
 c) (4x+2)2=36 
 d) (3x-9)2=36 
 e) `(x+5)2=1 
 f) `(x+5)2=-1

24. Resolva tambm estas equaes na varivel real *x*: 
 a) x2-8x+16=4 
 b) x2+2x+1=81 
 c) x2-10x+25=0 
 d) x2+12x+36=-9 
 e) 4x2-4x+1=9 
 f) 4x2-36x+81=16

25. D o conjunto soluo desta equao `(x,_r`): x29+8x3+
  +16=441.
<P>
26. Para que valor de *c* cada expresso a seguir  um quadrado perfeito? 
 a) x2-10x+c 
 b) 4x2-28x+c

27. O pai do Dino tem um terreno de forma quadrada. Num dos cantos do terreno, ele construiu uma horta, tambm quadrada, cuja rea  36 m2. Os lados da horta tm 10 metros a menos que os lados do terreno. Qual a rea do terreno? 
  Sugesto: chame de *x* a medida do lado do terreno.
 28. Carla finalmente decidiu emoldurar o quadro que seu av lhe deu. O quadro tem forma quadrada, que foi seguida pela moldura. O conjunto ficou com 400 cm2 de rea; a moldura tem 1,5 cm de largura. Calcule a rea da tela. 
  Sugesto: se a tela tem lado de *x* cm, ento `(x+3)2 d... 
<P>
_`[{um menino diz: "Muitas vezes a Matemtica est presente em nossa vida e a gente nem se d conta! Com as equaes do 2 grau acontece o mesmo..."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<65>
3- A frmula de Bhaskara 

  Existe um mtodo que nos per-
 mite resolver qualquer equao 
 do 2 grau. Aplicando esse 
 mtodo, obtemos uma frmula resolutiva conhecida como frmula de *Bhaskara*. 
  Bhaskara foi um matemtico hindu nascido por volta do ano 1100. Embora a frmula que vamos co-
 nhecer leve seu nome, ele no a descobriu. Trezentos anos antes, o mtodo de resoluo j era 
 aplicado pelo matemtico rabe *Al-Khowarizmi*, tido como iniciador da lgebra. Entretanto, Bhaskara levou a fama... 
<P>
  A ideia principal do mtodo para resolver uma equao do tipo ax2+bx+c=0, com a=0,  esta: 
<R+>
  Se ax2+bx+c for um trinmio quadrado perfeito, a resoluo  simples. Vimos isso no item 
  anterior. 
  Se ax2+bx+c no for um trinmio quadrado perfeito, iremos transform-lo num trinmio qua-
  drado perfeito. Como? Somando um nmero conveniente aos dois membros da equao. 
<R->

Exemplo 1 

  Vamos resolver a equao x2-8x-20=0. 
  Inicialmente, observe que x2-8x-20 no  um trinmio quadrado perfeito. 
  Isolamos ento x2-8x no primeiro membro e, a seguir, procuramos o nmero que deve ser colocado no lugar de ..., de modo que x2-8x+... seja um trinmio quadrado perfeito. Como esse nmero  16, somaremos 16 aos dois membros da equao. 
  Veja ento a sequncia toda: x2-8x-20=0 leva a x2-8x=
 =20 que leva a x2-8x+16=
 =20+16 que leva a x2-8x+16=
 =36. Portanto, `(x-4)2=36. 

<66>
 x-4=!:-6 
 x-4=6 :o x=10 
 ou 
 x-4=-6 :o x=-2. 

  Portanto, as razes da equao so x=10 e x=-2, ou seja, S=~l10, -2_,. Vamos conferir: 

 x2-8x-20=0
 x=10 :o 100-80-20=0 
 20-20=0: o que  verdade 
 x=-2 :o 4+16-20=0 
 20-20=0: o que  verdade 

Exemplo 2 

  Vamos resolver a equao x2+
 +5x+6=0. 
  Inicialmente vemos que x2+
 +5x+6 no  um trinmio quadrado perfeito. Isolamos x2+5x no primeiro membro. Como 5  um nmero mpar, para que x2+5x+... seja um trinmio quadrado perfeito, no lugar de ... deve ser colocado um nmero fracionrio. 
  Para evitar isso, multiplicamos os dois membros por 4, que, alm de ser par,  um quadrado per-
 feito: 

x2+5x+6=0 
 x2+5x=-6 
 4x2+20x=-24. 

  Agora procuramos o nmero que deve ser colocado no lugar de ..., para que 4x2+20x+... seja um trinmio quadrado perfeito. Como esse nmero  25, somamos 25 aos dois membros da equao: 

4x2+20x=-24 :o 4x2+20x+
  +25=-24+25
 4x2+20x+25=1 :o trinmio 
  quadrado perfeito 
<P>
 (2x+5)2=1 :o 2x+5=!:-1
 2x+5=1 :o x=-2 
 ou 
 2x+5=-1 :o x=-3. 

  Portanto, as razes dessa equao so x=-2 e x=-3. Confira! 

<67>
Deduo da frmula de Bhaskara 

  Vamos usar o mtodo na resoluo de uma equao do 2 grau genrica, isto , uma equao que representa qualquer uma das possveis equaes do 2 grau: ax2+bx+c=0, com a=0. 
  Comeamos isolando ax2+bx no primeiro membro. A seguir, multiplicamos os dois membros da equao por 4a: 

ax2+bx+c=0 
 ax2+bx=-c 
 4a2x2+4abx=-4ac. 

  Agora, procuramos o termo que deve ser colocado no lugar de ..., para que 4a2x2+4abx+... seja um trinmio quadrado per-
 feito. 
  Como esse termo  b2, somamos b2 aos dois membros da equao: 

4a2x2+4abx=-4ac 
 4a2x2+4abx+b2=-4ac+
  +b2
 4a2x2+4abx+b2=b2-4ac 
 `(2ax+b`)2=b2-4ac

  Vamos indicar b2-4ac por d, que  a letra grega delta. 
  Assim, temos `(2ax+b`)2=d. Observe que: 
<R+>
  quando d0, a equao no tem razes reais;
  quando do=0, temos: `(2ax+b`)2=d; 2ax+b=!:-d. 
<R->
  Agora, resolvemos essas duas equaes do 1 grau, isolando *x*: 2ax+b=!:-d
 
2ax+b=d 
 x=?-b+d*2a 
 ou
 2ax+b=-d
 x=?-b-d*2a

Ateno

  Frmula de Bhaskara. 
  Na equao do 2 grau ax2+
 +bx+c=0, indicamos b2-4ac 
 por d. 
  Quando d0, a equao no tem solues reais. 
  Quando do=0, as solues so obtidas pela frmula: x=?-b!:-d*#b~a. 
 
<68>
Exemplo 3 

  J resolvemos a equao 
 x2-8x-20=0, transformando o 1 membro num quadrado perfeito. 
 Agora, vamos resolv-la pela 
 frmula de Bhaskara. 

a=1, b=-8 e c=-20 
 d=b2-4ac=`(-8)2-4"1"
  "`(-20)=64+80 
 d=144.

  Como d>0, a equao tem as seguintes solues: 

x=?-b!:-d*#b~a=?-`(-8)!:-
  !:-144*?2"1*=?8!:-
  !:-12*2 
 ?8+12*2=10 
 ou 
 ?8-12*2=-2.

  Portanto, as razes dessa equao so x=10 e x=-2. 

Exemplo 4 

  Vamos usar a frmula de Bhaskara para resolver a equao -9x2+12x-4=0. 
  Como a=-9  nmero negativo, convm multiplicar ambos os membros por -1 para evitar erros de sinais. Ficamos com 9x2-12x+
 +4=0.

a=9, b=-12 e c=4 
 d=b2-4ac=`(-12)2-4"9"4=
  =144-144
 d=0
<P>
  A equao tem as seguintes 
 solues: 

x=?-`(-12`)!:-d*?2"9*=
  =?12!:-0*18
 ?12+0*18=1218=23 
 ou 
 ?12-0*18=1218=23.
 
  Portanto, o conjunto das solues dessa equao tem apenas um elemento: 23. 
  Esse fato se indica assim: S=~l23_,. 

Exemplo 5 

  Vamos resolver a equao 3x2+4x+2=0, usando a frmula de Bhaskara. 

a=3, b=4 e c=2 
 d=b2-4ac=42-4"3"2=
  =16-24
 d=-8

<69>
<P>
  Como d0, a equao no tem solues reais. 
  Portanto, S=_j, ou seja, o conjunto soluo no tem elementos. 

Ateno

  Conjunto soluo de uma equao do 2 grau. 
<R+>
  Quando do0, o conjunto soluo tem dois elementos. 
  Quando d=0, o conjunto soluo tem um s elemento. 
  Quando d0, o conjunto soluo no tem elementos ( o conjunto vazio). 

Atividades 

29. Com a frmula de Bhaskara, resolva as seguintes equaes: 
 a) 2x2+7x+5=0  
 b) x2+5x-14=0  
 c) x2-6x+9=0  
 d) -x2+8x+9=0
 e) 2x2+3x+11=0
 f) 25x2-10x+1=0
<P>
30. Para x=2, a expresso 5x2-12x+4 d 0.  verdade que existe outro valor real de *x* para o qual essa expresso tambm d 0? Qual?
 31. Para x=5, 4x2-40x+100 d 0. Existe algum valor real de *x*, diferente de 5, para o qual essa expresso tambm d 0? Qual? 

32. Resolva a equao x2-9x+
  +20=12. 
  Resoluo: 
  Ateno: a frmula de Bhaskara foi deduzida para a equao do 2 grau ax2+bx+c=0, com o segundo membro igual a zero. Como isso no acontece na equao dada, subtramos 12 dos dois membros e ficamos com x2-9x+20-12=0. 
  Assim, x2-9x+8=0.
  Agora, podemos usar a frmula de Bhaskara: 
  a=1, b=-9 e c=8 
  d=b2-4ac=`(-9)2-4'1'8=
  =81-32=49
  x=?-b!:-d*#b~a=?9!:-49*
  2=?9!:-7*2
  x=?9+7*2=8 
  ou 
  x=?9-7*2=1.
  Portanto, as razes dessa equao so x=8 e x=1. Vamos conferir: x2-9x+20=12 para x=8, temos: 64-72+20=12 ou seja -8+20=12 para x=1, 
  temos: 1-9+20=12 ou seja -8+20=12. 
  Agora  sua vez! Resolva as equaes: 
 a) x2-7x+12=2  
 b) x2+x-12=-15  
 c) x2+9x+8=8
 d) x2+10x+24=-1

33. Parece impossvel, mas no : a diviso de 0,5 por *x* pode ter o mesmo resultado da adio de 0,5 com *x*. Isso s acontece para dois valores de *x*. Quais so eles? 
<70>
 34. Um canteiro retangular tem 4 m de comprimento e 3 m de largura. Ao seu redor, externamente, ser feito um passeio de largura *x*. H material para cimentar uma rea de 30 m2. Para se aproveitar todo esse material, qual deve ser a largura *x* desse passeio? 

<F->
  !:::::::::::::::,,,
  l               _ x
  l  !:::::::::  _,,,
  l  l         _  _
  l  l         _  _ 3
  l  l         _  _
  l  h:::::::::j  _,,,
  l               _ x 
  r::!:::::::::::w,,,
  kx k   4    { x{
  k  k         {  {
<F+>

  Sugesto: 
  A rea do retngulo menor  
  12 m2. 
  A rea do retngulo maior, em m2, : `(4+2x`)`(3+2x`). 
  A rea do passeio  a diferena 
<P>
  entre as reas desses retngulos. 
  A rea do passeio=`(4+2x`)`(3+
  +2x`)-12. 
  Como essa rea deve ser de 30 m2, voc chega a uma equao do 2 grau. O resto  com
  voc.

35. A figura _`[no adaptada_`] representa um quadrado com lados de 12 cm. Em dois cantos opostos, temos dois quadrados iguais, com lados de *x* cm (sendo x<6). As medidas esto indicadas em centmetros.
 a) Qual  a expresso que d a soma das reas, em cm2, dos dois quadrados com lados de 
  *x* cm? 
 b) Juntando-se os dois tringulos da figura, obtemos um quadrado. Qual  a expresso que d a medida, em centmetros, dos lados desse quadrado? E a que d a rea, em cm2, desse quadrado? 
<P>
 c) Para encontrar a expresso que d a rea do polgono assinalado na figura, voc pode calcular a rea do quadrado maior, subtrair a soma das reas dos dois quadrados dos cantos e, depois, subtrair ainda a rea do quadrado obtido com a juno dos dois tringulos. Fazendo isso, que expresso se obtm? 
 d) Para que valores de *x* o polgono assinalado ter uma rea de 45 cm2? 
 e) Para cada valor de *x* que voc encontrou no item *d*, redesenhe a figura inicial, indicando a rea das cinco regies em que ela est dividida.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
36. (Saresp) A rea de um tapete retangular cujo comprimento tem 3 m a mais que a largura  10 m2. Sua largura mede, em metros. 

<F->
             comprimento
          !::::::::::::::::
          l                _
          l                _
  largura l                _ x
          l                _
          l                _
          h::::::::::::::::j
                 x+3
<F+>

a) 4 
 b) 3
 c) 2
 d) 1

37. Existe um nico nmero positivo que, adicionado ao seu quadrado, d 182. Que nmero  esse? 

<71>
<P>
Pensando em casa

38. Usando a frmula de 
  Bhaskara, resolva as seguintes equaes: 
 a) x2-4x-5=0  
 b) x2+2x-8=0  
 c) -x2+10x-24=0  
 d) -x2-2x+3=0  
 e) x2+4x+4=0  
 f) 3x2-8x+10=0 
 g) 8x2-2x-1=0
 h) x2+11x+28=0
 i) 3x2-2x=0
 j) x2-22x+1=0
 k) 4x2-9=0
 l) 10x2-11x+1=0

39. Usando a frmula de 
  Bhaskara e uma calculadora, descubra as razes das equaes: 
 a) x2-64x+663=0 
 b) 3x2+147x-2.646=0 
<P>
40. Considere as expresses x2-5x-6 e 2x-16. Encontre 
  os valores reais de *x* para os quais: 
 a) a primeira expresso d 0; 
 b) a segunda expresso d 0; 
 c) a primeira expresso d 8; 
 d) a segunda expresso d 8; 
 e) as duas expresses tm valores iguais.

41. Considere a expresso -2x2+12x-10. Diga quantos valores reais de *x* existem para os quais essa expresso d:
 a) 0
 b) 8
 c) 10
 d) -10

42. Para x=10, a expresso 2x2-15x d 50. Existe algum valor real de *x*, diferente de 10, para o qual essa expresso tambm d 50? Qual?
 43. (Saresp) Em uma sala retangular deve-se colocar um tapete de medidas 2 m"3 m, de modo que se mantenha a mesma distncia em relao s paredes, como indicado no desenho a seguir.

<F->
_`[{desenho adaptado_`]

                 3+2x
         !:::::::::::::::::::::::
         l          x            _   
         l                       _
         l    !:::::::::::::    _
         l    l      3     _    _
         l x  l             _  x _
  2+2x l    l 2          _    _
         l    l             _    _
         l    l             _    _
         l    h:::::::::::::j    _
         l                       _
         l          x            _
         h:::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Sabendo que a rea dessa sala 
   12 m2, qual ser o valor 
  de *x*?
<P>
44. No centro de um terreno retangular de 31 m de comprimento e 20 m de largura, ser construda uma casa. Ela ocupar uma rea de 200 m2. Em volta da casa, ser deixada uma rea que est indicada na figura. As medidas esto indicadas em metros.

<F->
_`[{figura adaptada_`]

  ,,,!:::::::::::::::::::::
   x l                     _
  ,,,l   !:::::::::::::   _
     l   l             _   _
     l   l             _   _
     l   l   Casa     _   _
     l   l             _   _
     l   l             _   _
  ,,,l   h:::::::::::::j   _
   x l                     _
  ,,,h:::!::::::::::::::::j
     2x l             _ 2x      
         l             _
<F+>
<P>
a) A largura da casa, em metros,  20-2x. Qual  a expresso que indica o seu comprimento? E a sua rea? 
 b) Encontre o valor de *x* e apresente o comprimento e a largura da casa.
 
45. Para calcularmos o nmero de diagonais de um polgono convexo, podemos usar uma frmula: d=?n`(n-3`)*2, na qual: *n* indica o nmero de lados do polgono e *d* indica o nmero de diagonais. 
  Use a frmula para descobrir qual  o polgono convexo que tem 20 diagonais. 

_`[{uma menina pensa: "O pentgono tem 5 lados. O hexgono tem 9. 20 diagonais...?"_`]

46. Se aumentarmos em 2 m um dos lados de um quadrado e diminuirmos 5 m do lado consecutivo, a rea do retngulo obtido se iguala  de um quadrado com 
  12 m de lado. Quanto mede o lado do quadrado original? 

<72>
Desafios e surpresas 

3. Apresente os nmeros reais que podem ser colocados no 
  lugar de ..., para que 2`(...-4)2+5 d:
 a) 5 
 b) 7
 c) 13
 d) 205 

4. Em cada caso, apresente o nmero que deve ser colocado no lugar de ..., para que a expresso dada tenha o menor valor possvel. Apresente tambm esse valor (mnimo) da expresso: 
 a) ...2  
 b) `(...-5`)2  
 c) ...2+4
 d) `(...-3`)2+8
 e) `(3"...-5`)2+7
 f) `(2"...-7`)2+12 

5. Considere a expresso 3`(x-6)2+4. 
 a) Qual  o valor mnimo dessa expresso? 
 b) Quantos valores reais de *x* existem para os quais a expresso d 3? E 4? E 7? 

6. Um terreno quadrado tem lados de 30 m. Uma parte dele, tam-
  bm quadrada, com lados de 
  24 m, estava destinada a um armazm `(figura I`). Os planos mudaram, e agora o armazm ter a forma de T, mas ocupando a mesma rea anterior `(figura II`). Assim, calcule *x*. 
<P>
_`[{duas figuras adaptadas_`]

<F->
Figura I
               
           6     $ y$
      !:::::::::::w::w
      l           _  _
      l           _  _
      l           _  _
  24 l  armazm  _  _
      l           _  _
      l           _  _
      l           _  _
   ,,,r:::::::::::j  _
    y l              _
   ,,,h::::::::::::::j
<P>                   
Figura II

            30
   ,,,!:::::::::::::,,
    x l  armazm    _ x
      l             _
      pcccc   pccccaa
      l    _   l    _
  30 l    _   l    _
      l    _   l    _
      l    _   l    _
      l    _   l    _
   ,,,h::::w:::r::::j
           { x k                
<F+>

_`[{um menino diz: "As medidas esto indicadas em metros."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<73>
4- Equaes do 2 grau 
  incompletas 

  Dizemos que uma equao do 2 grau  incompleta quando b=0 ou c=0 `(mas a=0`). 

  Por exemplo: 
<R+>
  5x2+10x=0  uma equao incompleta do 2 grau, com a=5, b=10 e c=0.
  2x2-18=0  uma equao 
  incompleta do 2 grau, com a=2, b=0 e c=-18. 
  x2=0  uma equao incompleta do 2 grau, com a=1, b=0 e c=0. 
<R->

Resoluo das equaes 
  incompletas, com b=0 

  Para b=0, temos equaes do 2 grau do tipo ax2+c=0. 
  Essas equaes podem ser resolvidas pela frmula de Bhaskara, mas  mais simples resolv-las isolando x2 num dos membros. 

Exemplos 

<R+>
1. Vamos resolver a equao 10x2-90=0. 
  Leva a 10x2=90, que leva 
  a x2=9. Assim, x=!:-9. 
  Logo, x=3 ou x=-3. 
  Ento, o conjunto soluo dessa equao  S=~l3, -3_,.  
  Confira, substituindo *x* por 3 e por -3. 
 2. Vamos resolver a equao 10x2+90=0. 
  Leva a 10x2=-90, que leva 
  a x2=-9. 
  No existe nmero real que elevado ao quadrado d um nmero negativo. Ento, essa equao no tem solues reais. Portanto, S=_j.
<R->

<74>
Resoluo das equaes 
  incompletas, com c=0 

  Para c=0, temos equaes do 2 grau do tipo ax2+bx=0. 
  Essas equaes podem ser resolvidas pela frmula de Bhaskara, mas  mais simples resolv-las colocando *x* em evidncia. 
  Fatorando-se a expresso ax2+bx=0, temos: x`(ax+b`)=0. 
  Aqui, temos um produto igual a zero, e s existe uma maneira de uma multiplicao dar zero: quando um dos seus fatores  zero.
 Ento: 

ax2+bx=0 leva a xax+b=0
 x=0: fator nulo 
 ou
 ax+b=0: fator nulo.

  Com x=0, j temos uma soluo. Resolvendo a equao do 1 grau ax+b=0, encontraremos a outra soluo. 

Exemplos 

<R+>
1. Vamos resolver a equao 2x2-10x=0. 
  Fatorada  2x`(x-5`)=0 
  2x=0 
  ou 
  x-5=0.
  De 2x=0, obtemos x=0; de x-5=0, obtemos x=5. 
  Portanto, as razes da equao so x=0 e x=5 e, por isso, S=~l0, 5_,.  
<P>
 2. Vamos resolver a equao 3x2+5x=0. 
  Fatorando-se a expresso 3x2+5x=0, temos x`(3x+5)=0 
  x=0 
  ou 
  3x+5=0.
  Em 3x+5=0, encontramos x=-#?c. 
  Portanto, as razes da equao so x=0 e x=-#?c e, por isso, S=~l0, -#?c_,. 
 3. Vamos resolver a equao 10x2-2x+1.995=1.995. 
  10x2-2x=0: incompleta
  2x`(5x-1`)=0 
  2x=0 d x=0 
  ou 
  5x-1=0 d x=#,e.
  Portanto, as razes da equao so x=0 e x=#,e e, por isso, S=~l0, #,e_,. 

<75>
<P>
Atividades
 
47. Considere a equao 2x2-50=0. Resolva essa equao do 2 grau incompleta: 
 a) sem usar a frmula de 
  Bhaskara; 
 b) usando a frmula de Bhaskara.

48. Resolva a equao do 2 grau incompleta x2-6x=0: 
 a) sem usar a frmula de 
  Bhaskara; 
 b) usando a frmula de Bhaskara.

49. Resolva as equaes a seguir, nas quais *x*  varivel real: 
 a) x2=25 
 b) x2-100=0 
 c) 5x2-45=0 
 d) x2=-25

50. Encontre os valores reais de *z* tais que: 
 a) z2-7z=0  
 b) 2z2-16z=0
<P>
 c) 5z2+20z=0
 d) -2z2-42z=0

51. Resolva as equaes `(x,_r`): 
 a) x2-9=0  
 b) x2-9x=0
 c) x2+9=0
 d) x2+9x=0

52. O quadrado de um nmero e o triplo desse nmero podem ser iguais. D todos os exemplos em que isso acontece.

53. (Saresp) A equao x2+3x=0: 
 a) no tem razes reais. 
 b) tem uma raiz nula e outra negativa. 
 c) tem uma raiz nula e outra positiva. 
 d) tem duas razes reais simtricas. 
<P>
Pensando em casa 

54. Resolva estas equaes `(y,_r`): 
 a) y2-121=0 
 b) 2y2-98=0 
 c) 2y2=-8 
 d) 4y2+100=0

55. Encontre os valores reais de *x* tais que: 
 a) x2-3x=0 
 b) x2+13x=0 
 c) 6x2-54x=0 
 d) 8x2+8x=0 

56. Sabendo que x,_r, resolva: 
 a) 7x2-28x=0 
 b) 7x2-28=0 
 c) 7x2+28=0 
 d) 7x2+28x=0 
 e) 4x2-1=0 
 f) 4x2-x=0 
 g) 3x2+2=0 
 h) 3x2+2x=0
<P>
57. Responda: 
 a) Quando  que acontece de a diviso de 9 por um nmero *x* resultar no prprio *x*? 
 b) Quando  que a diviso de 17 por *x* pode resultar no prprio nmero *x*? 
 c) A diviso de 36 por um nmero real *x* pode resultar no oposto de *x* `(quer dizer, em -*x*`)? 
 d) Quais so os dois nmeros reais que, elevados ao quadrado, resultam neles prprios?

Desafios e surpresas 

7. Considere a equao `(3x-2`)2=4. 
 a) Resolva essa equao sem desenvolver `(3x-2`)2. 
 b) Resolva essa equao desenvolvendo `(3x-2)2, para recair numa equao do 2 grau incompleta. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<76>
5- Clculo mental nas equaes 
  do 2 grau 

  Voc j sabe fatorar colocando um fator comum em evidncia. Por exemplo: 3ax+3bx+3cx=
 =3xa+b+c 
  Voc tambm sabe fatorar por agrupamento. Por exemplo: 

 3ax+2ay+3bx+2by=
  =a3x+2y+b3x+2y
 3ax+2ay+3bx+2by=
  =3x+2ya+b

  Conhecemos alguns tipos de expresses algbricas que sabemos fatorar de cor. Isso acontece, por exemplo: 
<R+>
  com a diferena de quadrados: x2-36=`(x+6`)`(x-6`). 
  com o trinmio quadrado perfeito: x2+12x+36=`(x+6)2. 
<R->
  Agora, veremos como se fatoram expresses do tipo ax2+bx+c, com a=1. Essas expresses so chamadas de trinmios do 2 grau. 

Fatorao do trinmio do 2 grau 

  Observe a multiplicao seguinte: `(x-7`)`(x-5`)=x2-5x-7x+
 +35=x2-12x+35.
  Assim, `(x-7`)`(x-5`) e x2-12x+35 so expresses iguais. 
  A expresso `(x-7`)`(x-5`)  a forma fatorada de x2-12x+35. 
  Verifique agora um fato interessante nessa igualdade: a soma `(-7`)+`(-5`)=-12 e o produto `(-7`)"`(-5`)=+35 aparecem na forma no fatorada x2-12x+35. 
  Ser que esse padro ocorre sempre? Vamos analisar de forma genrica, efetuando a multiplicao `(x+a`)`(x+b`): 
x+ax+b=x2+
 +ax+bx+ab=x2+xa+b+ab.
<77>
  Comprovamos, assim, que o padro, ou regularidade, ocorre sempre. O que isso significa? Que sabemos fazer a fatorao de trinmios do 2 grau, desde que eles sejam fatorveis,  claro! 
<P>
  Mas ateno! Os trinmios do 2 grau ax2+bx+c que aprendemos a fatorar devem ter a=1. 

Exemplo 

  Vamos fatorar o trinmio do 2 grau x2+5x-24. Devemos encontrar dois nmeros tais que seu produto seja -24 e sua soma, +5. Vamos juntar essas duas informaes assim: '''"'''=-24; '''+'''=+5.
  Agora falta adivinhar os nmeros das lacunas. S existe um par de nmeros que satisfaz as duas condies. Depois de algumas tentativas, chegamos aos nmeros: +8"?-3*=-24; +8+?-3*=+5.
  Podemos, ento, fatorar o trinmio x2+5x-24. x2+5x-24=
 =`(x+8`)`(x-3`). 
  Faa a multiplicao e com-
 prove! 
<P>
A fatorao e a resoluo de 
  equaes do 2 grau 

  Vamos resolver a equao x2-x-20=0 usando a fatorao. Primeiro, devemos fatorar o trinmio x2-x-20. Para isso, vamos encontrar o par de nmeros que satisfaz s duas condies: ..."...=-20; ...+...=-1.
  Aps algumas tentativas, chegamos a: -5"`(+4`)=-20; -5+`(+4`)=-1.
<78>
  Agora podemos voltar  equao x2-x-20=0, escrevendo o trinmio fatorado: `(x-5`)`(x+4`)=0. 
  Como o produto  zero, um dos fatores deve ser zero. 

x-5x+4=0
 x-5=0, assim, x=5 
 ou 
 x+4=0, assim, x=-4.

  Portanto, as razes dessa  
 equao so x=5 e x=-4 ou S=~l5, -4_,. 
  Se voc resolver a mesma equao usando a famosa frmula de Bhaskara, as solues sero idnticas. Se no acredita, comprove! 

Exemplos 

<R+>
1. Vamos resolver a equao x2-8x+12=0, mentalmente. 
  Primeiro, escrevemos o trinmio que vai ser fatorado. x2-8x+12=0. 
  Devemos encontrar um par de nmeros tal que sua soma seja -8 e o produto, 12. 
  Vamos juntar essas duas informaes. Assim: '''"'''=12; '''+'''=-8.
  Agora falta adivinhar quais so os nmeros das lacunas. S existe um par de nmeros que se encaixa tanto no produto quanto na soma. Depois de algumas tentativas, no ser difcil descobrir quais so. -2"-6=12; -2+-6=-8.
  Podemos ento escrever: `(x-2)`(x-6`)=0
  x-2=0, assim, x=2 
  ou 
  x-6=0, assim, x=6.
  Portanto, S=~l2, 6_,. 
  Voc pode conferir esse resultado de duas maneiras: substituindo os valores na equao ou ento resolvendo-a com a frmula de Bhaskara. 
 2. Vamos resolver a equao x2+7x-18=0, mentalmente. 
  O trinmio que vai ser fatorado  x2+7x-18. 
  Agora, voc deve adivinhar os nmeros das lacunas: '''"'''=-18; '''+'''=+7.
<79>
  Depois de algumas tentativas ( fundamental arriscar, tentar), voc dever encontrar os dois nmeros. +9"-2=-18; +9+-2=+7.
  Voltando  equao, agora fatorada, temos: 
  `(x+9`)`(x-2`)=0
  x+9=0, assim, x=-9 
  ou 
<P>
  x-2=0, assim, x=+2.
  Portanto, S=~l-9, 2_,. 
<R->

A resoluo mental e a frmula 
  de Bhaskara 

  A resoluo mental pode nos poupar muitos clculos. Mas nem sempre ela  eficiente. 

Exemplos 

<R+>
1. Considere a equao x2-21.387x+21.386=0. 
  Com a frmula de Bhaskara, 
  teremos de efetuar: x=?21.387!:-21.3872-4"
  "21.386*2. 
  Mas tudo isso pode ser evitado com a resoluo mental: 
  '''"'''=21.386; '''+'''=-21.387.
  Nesse caso,  fcil encontrar mentalmente os nmeros procurados: -1 e -21.386. 
 2. Na equao x2+5x+5=0, temos: '''"'''=5; '''+'''=5.
  Nesse caso, os nmeros procurados so ?5-5*2 e ?5+5*2. 
  ?5-5*2"?5+5*2=
  =?52-`(5`)2*4=
  =?25-5*4=204=5
  ?5-5*2+?5+5*2=
  =?5-5+5+5*2=102=5.
  Mas quem  que pensaria neles a no ser usando a frmula de Bhaskara? 
<80>
 3. Considere a equao x2-9x+24=0. Dessa vez, por mais que se tente, no se consegue encaixar os nmeros nestas lacunas: '''"'''=24; '''+'''=9.
  A, sem usar a frmula de Bhaskara, fica-se na dvida: as solues existem, e no estamos conseguindo encontr-las, ou ser que elas no existem? 
  Nesse caso, o melhor  calcular d. Como d=-15, a equao no tem solues reais. 
  Concluso: Comece com a resoluo mental, mas, se as tenta-
<P>
  tivas no se encaixarem, use a frmula de Bhaskara.

Atividades 

58. Fatore: 
 a) x2-6x+8 
 b) x2+10x+21 
 c) x2-3x-10 
 d) x2-x-30

59. Quando for possvel, fatore: 
 a) 5x2-15x+10 
 b) -x2-4x-4 
 c) x2+x+1 
 d) 2x2-1 
 e) -4x2+16x-15 
 f) 3x2+7x+5

60. Simplifique a expresso ?x2+x-6*?x2-5x+6*. 
  Resoluo: 
  No numerador e no denominador, temos trinmios do 2 grau. Fatorando-os, voc obter: 
  x2+x-6=`(x+3`)`(x-2`) e 
  x2-5x+6=`(x-2`)`(x-3`). 
  Ento: ?x2+x-6*?x2-5x+
  +6*=?`(x+3`)`(x-2`)*?`(x-2`)`(x-
  -3`)*=?x+3*?x-3*

61. Simplifique as seguintes expresses: 
 a) ?x-4*?x2-5x+4* 
 b) ?x2-3x-4*?3x+3*
 c) ?x2-7x*?x2+3x-70*
 d) ?x2-1*?x2-2x+1* 

62. Qual  o valor da expresso para ?x2-7x+12*?x2-2x-
  -8* para x=98?

63. Resolva mentalmente as seguintes equaes: 
 a) x2-8x+15=0 
 b) x2-9x+14=0 
 c) x2+6x+8=0 
 d) x2+12x+11=0 
 e) x2-5x+6=0 
 f) x2+5x-6=0 
 g) x2-x-12=0 
 h) x2-14x-32=0 
 i) x2-12x+36=0 
 j) x2+4x+4=0

64. Nas prximas equaes, tente usar a resoluo mental. Nos casos em que no conseguir encaixar os nmeros, use a frmula de Bhaskara: 
 a) x2-13x+12=0 
 b) x2+10x+21=0 
 c) 2x2-7x+6=0 
 d) x2+x-56=0 
 e) x2-5x+71=0 
 f) x2-14x+49=0 
 g) x2-12x+20=0 
 h) x2-8x+14=0 
 i) x2-(3+2)x+32=0 

<81>
Pensando em casa

65. Fatore: 
 a) x2-8x+15 
 b) x2-8x+16 
 c) x2-8x 
 d) x2-16 
 e) 10x2-70x+120 
 f) x2+5x-6 
 g) x2-6x+5 
 h) 15x2-x-6 
 i) x2-42x+6

66. A soma de dois nmeros reais  6 e o produto  9. Quais so esses nmeros? 
  Sugesto: substitua a soma S e o produto P na equao x2-Sx+P=0, resolva a equao e encontre os nmeros.
 
67. Simplifique as expresses a seguir: 
 a) ?x2-3x-4*?x2+5x+4* 
 b) ?2x2+6x*?2x2+5x-3*
 c) ?-x2+6x-9*?x2+x-12* 
 d) ?5x+25*?x2+7x+10* 
 e) ?x4-8x3*?x4-10x3+
  +16x2* 
 f) ?x2-5*?x2+45x+15 

68. Qual  o valor de ?x2-3x+
  +2*?x2-1.993x+1.992* para x=1.997?

69. Resolva mentalmente as seguintes equaes: 
 a) x2-4x+3=0 
 b) x2+2x-3=0 
 c) x2+6x+9=0 
 d) x2-7x-8=0 
 e) x2-7x+10=0 
 f) x2-5x-36=0 
 g) x2+16x-36=0 
 h) x2-15x+36=0 
 i) x2+16x+64=0 
 j) x2-20x+64=0 
 k) x2-31x=0 
 l) x2-81=0 

70. Resolva mentalmente ou usando a frmula de Bhaskara: 
 a) x2-20x+75=0 
 b) x2-2x+2=0 
 c) 3x2-10x+3=0 
 d) x2-15x+26=0 
 e) x2+8x-33=0 
 f) x2-7x+8=0 
 g) x2+x-110=0 
 h) x2-2x-120=0 
 i) x2+x+1=0 

Desafios e surpresas

8. Resolva mentalmente: 
 a) x2-10.002x+20.000=0 
 b) x2-12.999x-12.300=0 
<P>
 c) x2-`(7-1)x-7=0 
 d) x2-32x+4=0 
<R->

<82> 
Ao sobre equaes do 2 grau 

Responda rpido 

  O professor divide a classe em duas grandes equipes: a dos alunos  sua esquerda e a dos alunos  sua direita. 
  Depois, ele escreve uma equao na lousa e os alunos devem resolv-la mentalmente, sem lpis, caneta etc. O primeiro que levantar a mo, dizendo as duas solues da equao, faz um ponto para sua equipe. 
  O professor escreve outra equao e a disputa continua, mas quem j falou fica s torcendo. 

<R+>
_`[{figura descrita a seguir_`]

  Figura de uma sala de aula. Os alunos esto separados em dois grupos. A professora escreve na lousa a equao: x2+7x+10=0. Uma aluna pensa: "Soma 7. Produto 10". Ela diz: "2 e 5!".
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<83>
6- Sistemas de equaes 

  Vamos resolver o seguinte problema: 
  Um retngulo tem 21 cm de permetro e 20 cm2 de rea. Quanto medem seus lados? Indicando por *x* e *y* as medidas dos lados em centmetros, temos: 

<F->
permetro=x+x+y+y=2x+2y
rea=x"y

         x
  !:::::::::::::
  l             _
y l             _
  l             _
  h:::::::::::::j
<F+>
<P>
  Com essas duas informaes, escrevemos duas equaes: 2x+2y=21 e x"y=20. 
  Essas duas equaes formam o seguinte sistema de equaes: 2x+2y=21 e xy=20. 
  Vamos resolver o sistema, isto , encontrar os valores de *x* e *y* que satisfazem as duas condies exigidas. 
  Isolando *y* na primeira equao, temos y=?21-2x*2. 
  Substituindo esse valor na 
 segunda equao, temos: x"`(?21-2x*2`)=20, que leva a 21x-2x2=40. 
  Portanto, 2x2-21x+40=0. 
  Resolvendo essa equao do 2 grau, voc deve obter x=8 ou x=2,5. 
  Substituindo os valores de *x*, obtemos os valores de *y*: 
 y=?21-2x*2
 y=?21-2"8*2=2,5
 y=?21-2"2,5*2=8
  Quando x=8, temos y=2,5. 
  Quando x=2,5, temos y=8. 
  Portanto, em qualquer desses casos, os lados do retngulo medem 8 cm e 2,5 cm. 

<84>
Exemplo 

  Vamos resolver o sistema de equaes nas incgnitas *x* e *y*: x+2y=25 e xy=68. 
  Na primeira equao, podemos isolar *x*: x=25-2y. 
  Vamos substituir *x* por `(25-2y`) na segunda equao: xy=68 leva a `(25-2y`)y=68. 
  Temos, ento: 

25y-2y2=68 
 -2y2+25y-68=0 
 2y2-25y+68=0 
 d=`(-25)2-4"2"68=625-
  -544=81 
 y=?25!:-81*4=?25!:-9*4 
 y=344=172 
 ou 
 y=4.
<P>
  Substituindo os valores de *y* em x=25-2y, obtemos os valores de *x*:
<R+>
  y=172 assim, x=25-2y=
  =25-2`(172`)=25-17=8.
  y=4 assim, x=25-2y=
  =25-2"4=25-8=17. 
<R->
  Portanto, dois pares ordenados `(x, y`) so solues desse sistema: S=~l`(8, 172`), `(17, 4`)_,. 

Atividades 

<R+>
71. Resolva os sistemas: 
 a) x-2y=2 e xy=12
 b) 2x+y=6 e xy=-20

72. Um retngulo tem 18 cm de permetro e 18 cm2 de rea. Quanto medem os seus lados?
 73. Considere o sistema de equaes: 2x+3y=18 e x-y=-1.
  Voc deve resolv-lo seguindo as indicaes. As equaes so do 1 grau. Por isso, em vez do mtodo da substituio,  fcil resolver o sistema pelo mtodo da adio. Assim: multiplique os dois membros da segunda equao por 3; depois adicione as equaes membro a membro; o restante  com voc.

74. Resolva os sistemas: 
 a) x-3y=8 e xy=3 
 b) x=y2 e x-y=42

<85>
75. Dois nmeros tm soma 4,9 e produto 6. Quais so eles?
  Resoluo: 
  Indicando esses nmeros por *x* e *y*, temos: x+y=4,9 e xy=6.
  Resolvendo esse sistema, voc encontrar: x=2,5 e y=2,4 ou x=2,4 e y=2,5. 
  Portanto, os nmeros so 2,4 e 2,5.
 76.  possvel que dois nmeros tenham soma 4,1 e produto 4? Quais so esses nmeros?

77. Resolva os sistemas:
 a) x+y=4 e x2+y2=40
 b) x+2y=6 e x2-y=2

78. Na figura, temos dois quadrados e um retngulo. Esse retngulo tem 44 cm de permetro, e a soma das reas dos dois quadrados  de 250 cm2. Quanto medem os lados do retngulo? 

<F->
        y
    !:::::::
    l       _ 
  y l       _  
    l       _
    l       _  x
    r:::::::w::::
    l       _    _ x
    l       _    _
    h:::::::j::::j
               x
<F+>

Pensando em casa

79. Em um retngulo com rea de 80 cm2, o comprimento tem 
  11 cm a mais que a largura. Calcule o comprimento e a largura do retngulo.
 80. Somando 0,05 com *x* e dividindo 0,05 por *x*, encontrou-se nos dois casos o mesmo resultado. Quais podem ser os valores de *x*?
 81. Existe um nmero natural no nulo para o qual o quadrado do seu antecessor  igual ao sucessor do seu quntuplo. Qual  esse nmero natural no nulo?
 82. Encontre dois nmeros irracionais, sabendo que a soma deles  6 e o produto tambm 
   6.
 83. Encontre dois nmeros irracionais positivos, sabendo que a diferena entre eles  6 e o produto tambm  6.
 84. Um retngulo tem rea de 
  20 cm2 e permetro de 21 cm. Quanto medem os seus lados?
 85. Num losango com rea de 
  20 cm2, a diagonal maior tem 6 cm a mais que a diagonal menor. Quanto medem essas diagonais? 
<P>
  Informao: a rea de um losango  a metade do produto das medidas das diagonais.

86. Resolva os seguintes sistemas, sabendo que x,_r e y,_r: 
 a) x-y=5 e xy=36
 b) x2+y=10 e x+2y=5.
  Sugesto: multiplique a primeira equao por -2 e adicione as duas. 
 c) xy=23 e x2=75y
 d) xy=x-12 e x+y=6

87. Encontre os valores de *x* e de *y* nos sistemas a seguir `(x,_r e y,_r`). 
 a) 3x+y=2 e x2+y2=26 
 b) 2x-y=1 e 3x2-y2=3 
 c) x+y=4 e x2+y2=6

88. A multiplicao de *x* por *y* d 100. A diviso de *x* por *y* d 4. Quais so os nmeros *x* e *y*? 

<86>
<P>
Desafios e surpresas 

9. Observe a figura: 
  {a{b{c{d  quadrado, com lados de *x* cm; 
  {a{e{f{g  retngulo; 
  {d{g mede *y* cm; 
  {e{b mede o triplo de {d{g, ou seja, 3y cm. 
  A parte colorida em verde tem permetro de 44 cm e rea de 68 cm2. Encontre os valores de *x* e *y*. 

<F->
  E 3y B   x  A
   !:::::::::::::
   l      _       _
   l      _       _ x
   l      _       _
   l      _       _
   l    C:::::::wD
   l verde        _ y
   v--------------# 
  F             G
<F+>

10. Nesta figura, a parte colorida em verde tem 38 cm2 de rea, e a regio colorida em laranja, 46 cm2. Qual  a rea do quadrado branco? 

<F->
   y   y    x                
  !:::::::::::
  l  _  _       _
  l  _  _       _ x
  l  _  _       _ 
  l  _  _branco _
  l  _  :::::::w
  l  _ verde    _ y
  l  ::::::::::w
  l laranja     _ y
  h:::::::::::::j
<F+>

 11. No livro do oitavo ano, j citamos o grande matemtico rabe *Al-Khowarizmi* que viveu em Bagd no sculo IX. *Al-Khowarizmi* prope um interessante mtodo para resolver equaes do 2 grau na forma x2+bx=a, baseado na interpretao geomtrica da expresso `(a+b`)2, que voc j conhece. 
  No livro, *Al-Khowarizmi* prope o seguinte problema: 
  Qual  o quadrado que somado a 10 razes resulta 39? 
  Primeiro, *Al-Khowarizmi* representa geometricamente x2+10x: 

<F->
        x      5   
     pccccdccccccccc  
   x lx2_  5x    _ x
     l    _         _
     r::::w:::::::::j         
     l    _        
     l    _        
  5 l5x _  
     l    _        
     l    _        
     h::::j
       x 
<F+>

  Depois, ele completa o quadrado de lado x+5: 
<P>

<F->
    A  x     5  L
     pccccdcccccccc  
   x lx2_  5x   _ x
     l    _        _
     r::::w::::::::w         
     l    _        _
     l    _        _
  5 l5x _  25   _ 5
     l    _        _
     l    _        _
     h::::j::::::::j
    R  x     5  G
<F+>

  Como x2+10x=39, tem-se x2+10x+25=39+25, ou seja, a rea do quadrado {a{l{g{r  64 e portanto seu lado mede 8. 
  Daqui se obtm o valor de *x*: 

  `(x+5`)2=64
  x+5=8 
  x=3 

  Esse mtodo  conhecido como completar quadrados. 
  Al-Khowarismi no usava nmeros negativos; por isso, aparece 
  apenas a soluo positiva da equao. 
 a) Ache a raiz negativa da equao x2+10x=39. 
 b) Usando o mtodo de completar quadrados, encontre a raiz positiva da equao x2+6x=72. 
 c) Qual  a raiz negativa da equao x2+6x=72? 
<R->

               oooooooooooo

<87>
<P>
Captulo 4 -- Geometria e 
  medidas: comprimentos 

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

<88>
1- Primeiras relaes mtricas  
  no tringulo retngulo 

  O conceito de semelhana que vimos no captulo 1 ser apli-
 cado aos tringulos retngulos. Vamos obter resultados teis 
 para engenheiros, arquitetos, 
 fsicos, agrimensores, tcnicos 
 em mecnica etc. 
  Isso se deve ao fato de que, com um pouco de imaginao, podemos encontrar muitos tringulos retngulos a nossa volta. Basta ver as imagens para comprovar: 
<P>
_`[{trs figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Os lados do tringulo retngulo recebem nomes especiais: 

<F->
       r
       l ^
       l   ^  
cateto l     ^ hipotenusa
       l       ^
       r::      ^
       l_-_        ^
       h::j::::::::::h
           cateto
<F+>

  Catetos so os lados que formam o ngulo reto. 
  Hipotenusa  o lado oposto ao ngulo reto. 
<89>
  Traando a altura relativa  hipotenusa, temos mais trs segmentos que tambm recebem nomes especiais: 

<R+>
^c?{a{h*  a altura relativa  
  hipotenusa; 
 ^c?{c{h*  a projeo do cateto ^c?{a{c* sobre a hipotenusa; 
 ^c?{b{h*  a projeo do cateto ^c?{a{b* sobre a hipotenusa.
<R->

<F->
         A
          
         _^
         _  ^
         _    ^
         _      ^       
         _        ^
         _          ^      
         _::         ^              
         __-_           ^
 j::::::::j::j:::::::::::::h
C       H               B
<F+>

  Para facilitar nosso estudo, vamos indicar as medidas desses elementos por letras minsculas: 
<P>
<R+>
*a*  a medida da hipotenusa; 
 *b* e *c* so as medidas dos 
  catetos; 
 *h*  a medida da altura; 
 *m* e *n* so as medidas das 
  projees dos catetos. 
<R->

<F->
         A
          
         _^
         _  ^
         _    ^
  *b*    _ *h*  ^ *c*      
         _        ^
         _          ^      
         _::         ^              
    *m*  __-_    *n*    ^
 j::::::::j::j:::::::::::::h
C       H               B
r::::::::::::::::::::::::::w
            *a*
<F+>

  Observe que nesta figura podemos visualizar estes trs tringulos retngulos: 
<P>

<F->
       A
        
        ^
          ^
 *b*        ^ *c*
              ^       
                ^
                  ^    
 j:::::::::::::::::::h   
C       *a*        B

         A
          
         _
         _  
         _    
  *b*    _ *h*             
         _        
         _                
      !::_                       
      l_-_           
 j:::::h::j
C  *m*  H                
<P>
   A
    r
    l^
    l  ^
    l    ^
*h* l      ^ *c*       
    l        ^
    l          ^      
    r::         ^              
    l_-_           ^
    h::j:::::::::::::h 
   H      *n*      B
<F+>

  Os tringulos {a{b{c e {h{a{c tm dois ngulos respectivamente congruentes e, por isso, so semelhantes. 
<90>
  O mesmo ocorre com os tringulos {a{b{c e {h{b{a.
  Logo: tringulo {a{b{c$?;tri-
 ngulo {h{a{c$?;tringulo {h{b{a. 
  Vamos desenhar esses tringulos de modo que seus ngulos congruentes fiquem nas mesmas posies: 
<P>

<F->
         A
          
         _^
         _  ^
         _    ^
 *b*     _ *h*  ^ *c*      
         _        ^
         _          ^      
         _::         ^              
    *m*  __-_    *n*    ^
 j::::::::j::j:::::::::::::h
C       H               B

       A
        
        ^
          ^
 *b*        ^ *c*
              ^       
                ^
                  ^
 j:::::::::::::::::::h
C        *a*       B
<P>
      H
       
       ^
 *m*     ^ *h*
           ^ 
   j::::::::::h
  C   *b*   A

      H
       
       ^
         ^
*h*        ^ *n*
             ^       
               ^
 j::::::::::::::::h
A      *c*      B
<F+>

  Da semelhana dos tringulos {a{b{c e {h{a{c, tem-se: ab=bm portanto: b2=am. 
  Da semelhana dos tringulos {a{b{c e {h{b{a, tem-se: ac=cn portanto: c2=an. 
  Essas igualdades relacionam certas medidas de um tringulo retngulo. Por isso, elas so chamadas de relaes mtricas do tringulo retngulo. 
  Essas duas relaes podem ser enunciadas de uma s vez, assim: 

  Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida de um cateto  o produto da medida da hipotenusa pela da projeo desse cateto sobre a hipotenusa. 

<91>
Exemplo 

  Neste tringulo retngulo, vamos calcular a medida da hipote-
 nusa. 
<F->
       A
        
       _^
       _  ^
 15   _    ^       
       _      ^
       _::     ^              
    9 __-_       ^
 j::::::j::j:::::::::h
C     D           B
r::::::::::::::::::::w
          *a*
<F+>

  As medidas esto indicadas em centmetros. Sabemos que: 

b2=am 
 152=a"9 
 9a=225 
 a=25 

  Portanto, a hipotenusa desse tringulo mede 25 cm.

Atividades 

<R+>
1. Examinando o tringulo 
  retngulo {a{b{c, diga qual  a medida: 
<F->
  ^c?{a{d*=14,4 mm
  ^c?{d{b*=25,6 mm
  ^c?{a{c*=24 mm
  ^c?{c{b*=32 mm
  ^c?{c{d*=19,2 mm
<P>

              C                 
              _
            ^ _ 
          ^   _  
        ^     _    
      ^       _::               
    ^         __-_  
   j:::::::::::j::j:::h
  B          D     A
<F+>

a) de cada cateto; 
 b) da hipotenusa; 
 c) da altura relativa  hipote-
  nusa; 
 d) da projeo do cateto maior sobre a hipotenusa; 
 e) da projeo do cateto menor sobre a hipotenusa. 

2. Vimos duas relaes mtricas no tringulo retngulo. Escreva essas relaes para os tringulos: 
<P>
<F->
a)      C
          
         _^
         _  ^
         _    ^
  *y*    _ *w*  ^ *z*
         _        ^      
         _::       ^              
         __-_         ^
  j:::::::j::j:::::::::::h
 A *u*  D     *v*     B
 r:::::::::::::::::::::::w
           *a*

b)          C
             _
           ^ _        
      *b*^*g*_   *r*
       ^  !::w                 
     ^    l_-_    
    j::::::h::j:::::h
   B *f*    D *e* A
   r::::::::::::::::w
           *p*
<F+>
<P>
3. Calcule *x* e *y*.

<F->
                C
                _
              ^ _ 
            ^   _         
      *y* ^     _    *x*
        ^       _          
      ^      !::w                   
    ^        l_-_      
   j::::::::::h::j:::::::h
  B            D 3,6 A
  r::::::::::::::::::::::w
            10
<F+>

4. Num tringulo retngulo, um cateto mede 3 cm e a hipotenusa mede 5 cm. Diga qual  a 
  medida: 
 a) da projeo desse cateto sobre a hipotenusa; 
 b) da projeo do outro cateto sobre a hipotenusa; 
 c) do outro cateto.
<P>
5. Entramos em uma parte da geometria que estuda especialmente os tringulos retngulos. Por que esses tringulos tm importncia? 

<92>
Pensando em casa

6. Um tringulo retngulo tem catetos de 12 cm e 16 cm, e hipotenusa de 20 cm. Calcule as medidas das projees dos catetos sobre a hipotenusa.

7. Nestes tringulos retngulos, calcule *x*. 
<F->
a)
                A
                _
              ^ _ 
            ^   _         
          ^     _    *x*
        ^       _          
      ^      !::w                   
    ^        l_-_      
   j::::::::::h::j:::::::h
  B   10,5    H  2  C
<P>
b)
               A
               _
             ^ _ 
           ^   _   8      
         ^     _   
       ^       _          
     ^      !::w                   
   ^        l_-_      
  j::::::::::h::j:::::::h
 C     *x*    H  2  B
<F+>

8. Calcule as medidas dos catetos deste tringulo retngulo. 

<F->
          A
           
          _^
          _  ^
          _    ^       
          _      ^
          _        ^      
       !::w          ^              
       l_-_            ^
   j::::h::j::::::::::::::h
  B  9  H      16    C
<F+>
<P>
9. Nos tringulos retngulos a seguir, calcule *x*. 
<F->
a)
          A
           
          _^
          _  ^
          _    ^ 12       
          _      ^
          _        ^      
       !::w          ^              
       l_-_            ^
   j::::h::j::::::::::::::h
  B  7  H     *x*     C

b)       A
           
          _^
          _  ^
          _    ^ x+4
          _      ^
          _        ^      
          _::       ^              
          __-_    *x*  ^
   j:::::::j::j:::::::::::h
  C      H             B 
  r:::::::::::::::::::::::w
           25
<F+>
<P>
_`[{um aluno pergunta: "Interessante... Quer dizer ento que as relaes mtricas no tringulo retngulo so consequncias da semelhana?" O professor responde: "Isso mesmo! E voc vai usar muito essas relaes mtricas na prtica..."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<93>
2- Outras relaes mtricas no 
  tringulo retngulo 

  Considere um tringulo retngulo qualquer: 

<F->
       A
        
       _^
       _  ^
 *b*   _ *h*^ *c*
       _      ^      
       _::     ^              
       __-_       ^
 j::::::j::j:::::::::h
C *m* H    *n*    B
<F+>

  J vimos que, nessa figura, temos trs tringulos semelhantes: 

<F->
       A
        
        ^
          ^
 *b*        ^ *c*
              ^       
                ^
                  ^
 j:::::::::::::::::::h
C        *a*       B

     H
      
      ^
*m*     ^ *h*
          ^ 
  j::::::::::h
 C   *b*   A
<P>

      H
       
       ^
         ^
*h*        ^ *n*
             ^       
               ^
 j::::::::::::::::h
A      *c*      B
<F+>

  Da semelhana dos tringulos {h{a{c e {h{b{a, temos: mh=hn portanto: h2=mn.
  Ento: 

  Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida da altura relativa  hipotenusa  igual ao produto das medidas das projees dos catetos sobre a hipotenusa. 

  Da semelhana dos tringulos {a{b{c e {h{a{c, temos: ab=ch portanto: ah=bc. 
  Ento: 

  Em qualquer tringulo retngulo, o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa  hipotenusa  igual ao produto das medidas dos catetos. 

<94>
Atividades

<R+>
10. Nesta figura, calcule *x*.

<F->
          
         _^
         _  ^
         _    ^
         _ 12  ^
         _        ^      
         _::       ^              
         __-_         ^
  j:::::::j::j:::::::::::h
     8         *x*
<F+>
 
  Resoluo: 
  Em qualquer tringulo retngulo, tem-se: h2=m"n. 
  Logo: 122=8x. 
  Resolvendo a equao, obtemos x=18.

11. Calcule a altura h destes tringulos retngulos. 
<F->
a) 
                A
                _
              ^ _ 
            ^   _         
          ^ *h* _   
        ^       _          
      ^         _::                
    ^           __-_   
   j:::::::::::::j::j::::h
  B     8     H 4,5 C

b)       A
           
          _^
          _  ^
          _    ^
          _ *h*  ^
          _        ^      
          _::       ^              
          __-_         ^
   j:::::::j::j:::::::::::h
  B 1,8 H     5      C
<F+>
<P>
12. Nestes tringulos retngulos, calcule *x*. 
<F->
a) 
          A
           
          _^
          _  ^
          _    ^
          _ 10  ^
          _        ^      
          _::       ^              
          __-_         ^
   j:::::::j::j:::::::::::h
  B  8  H      *x*    C               

b)             A
                _
              ^ _ 
            ^   _         
          ^  6 _   
        ^       _          
      ^      !::w                   
    ^        l_-_      
   j::::::::::h::j:::::::h
  B     *x*    H  4  C
<F+>
<P>
13. Neste tringulo, a hipo-
  tenusa ^c?{b{c* tem 20 cm. Calcule *x*. 

<F->
          A
           '
          l^
          l  ^
          l    ^
          l6 cm ^
          l        ^      
          r::       ^              
          l_-_         ^
   j:::::::h::j:::::::::::h
  B *x*  H             C  
<F+>

14. Encontre a medida *h*.

<F->
          A
           
          _^
  21 cm  _  ^ 28 cm
          _ *h*^      
          _::   ^              
          __-_     ^
     j:::::j::j:::::::h
    B    35 cm     C
<F+>
 
  Resoluo: 
  Em qualquer tringulo retngulo, tem-se: ah=bc. 
  Logo: 35h=21"28; h=?21"28*35=?3"28*5=
  =16,8. 
  Portanto, a altura h tem 
  16,8 cm.
 15. Calcule a medida da 
  altura *h*.

<F->
          A
           
          _^
          _  ^
  7 cm   _    ^ 24 cm
          _ *h*  ^
          _        ^      
          _::       ^              
          __-_         ^
   j:::::::j::j:::::::::::h
  B      25 cm         C 
<F+>
<P> 
16. Encontre as medidas dos 
  lados do tringulo retngulo {a{b{c. 
  {a{h=6013 cm 
  {h{c=14413 cm.

<F->
          A
           
          _^
          _  ^
          _    ^
          _      ^
          _        ^      
          _::       ^              
          __-_         ^
   j:::::::j::j:::::::::::h
  B      H             C 
<F+>

<95>
Pensando em casa 

17.  verdade que, em todo tringulo retngulo, a soma das medidas dos catetos  igual  medida da hipotenusa?
<P>
18. Nestes tringulos retngulos, calcule *x*. 
<F->
a) 
               A
               _
             ^ _ 
           ^   _         
         ^ *x* _   
       ^       _          
     ^      !::w                   
   ^        l_-_      
  j::::::::::h::j:::::::h
 B    16,2   H  5  C

b)     A
         
        _^
        _  ^
        _    ^
        _ 2,5 ^
        _        ^      
        _::       ^              
        __-_         ^
 j:::::::j::j:::::::::::h
B *x*  H    x+12    C
<F+>

19. Calcule a medida da 
  altura *h*.

<F->
             A
             _
           ^ _        
      72^*h*_   54
       ^     _         
     ^    !::w                  
   ^      l_-_     
  j::::::::h::j::::::h
 B        90      C
<F+>

20. Neste tringulo retngulo, calcule as medidas *a*, *c* 
  e *h*. 
<F->
          A
           
          _^
          _  ^        
          _    ^
   12    _ *h*  ^ *c*
          _        ^      
       !::w          ^              
       l_-_            ^
   j::::h::j::::::::::::::h
  B 7,2 D             C
  r:::::::::::::::::::::::w
            *a*
<F+>

21. No tringulo da figura, mea ^c?{a{h*, ^c?{c{h* e ^c?{h{b*. 

<F->
                A
                _
              ^ _ 
            ^   _         
          ^ *h* _   
        ^       _          
      ^      !::w                   
    ^        l_-_      
   j::::::::::h::j:::::::h
  C      *m*   H  *n* B
  r::::::::::::::::::::::w
            *a*
<F+>

a) Verifique que, nesse caso, h2=mn. 
 b) Em qualquer tringulo, deve-se ter h2=mn?

22. Neste tringulo retngulo, calcule as medidas de *h*, *m* 
  e *n*. 
<P>

<F->
          A
           
          _^
          _  ^
          _    ^
    3    _ *h*  ^ 4
          _        ^      
          _::       ^              
          __-_         ^
   j:::::::j::j:::::::::::h
  B *m*  D     *n*     C
  r:::::::::::::::::::::::w
            5
<F+>

Desafios e surpresas

1. Considere a figura _`[no adaptada_`] para responder s questes. Saiba que O  o centro da circunferncia, que {a{h=23 e {c{h=3. 
 a) Voc j sabe que um ngulo inscrito mede metade do ngulo central de mesmo arco. Na figura, quanto mede o ngulo inscri-
<P>
  to :?{b{a{c*? (Pense no ngulo central :?{b{o{c*.) 
 b) Calcule a medida do raio da circunferncia. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<96>
Ao sobre o teorema de 
  Pitgoras 

Experincias com tringulos 

  Formam-se grupos e cada grupo recorta diversos tringulos de papel, tomando o cuidado de fazer tringulos acutngulos, obtusngulos e, tambm, tringulos retngulos. 
  Em todo tringulo, vamos indicar a medida do lado maior por *a*, e as dos lados menores por *b* e *c*. 
  Em cada tringulo que recortou, o grupo mede os lados, obtendo *a*, *b* e *c*. A seguir, compara 
<P>
o valor de a2 com o da soma b2+c2. 
  O que o grupo notou em suas comparaes? 
  Esse  o tema de um pequeno relatrio e de um belo cartaz que cada grupo deve fazer. 

               ::::::::::::::::::::::::

<97>
3- Teorema de Pitgoras 

  Pitgoras foi um matemtico grego do sculo VI a.C. Ele descobriu uma relao mtrica que, at hoje,  um dos mais famosos e importantes teoremas da Matemtica. 
  Veja o enunciado do teorema de Pitgoras: 

  Em qualquer tringulo retngulo, a soma das medidas dos quadrados dos catetos  igual ao quadrado da medida da hipotenusa. 
<P>
  Usando uma figura, escrevemos o teorema de Pitgoras de um modo bem simples: b2+c2=a2. 

<F->
       
       ^
 *b*     ^ *c*
           ^ 
             ^       
  j:::::::::::::h
        *a*        
<F+>

Demonstrao do teorema de 
  Pitgoras 

  Para demonstrar o teorema de Pitgoras, vamos partir de duas relaes mtricas do tringulo 
 retngulo, demonstradas anteriormente: b2=am; c2=an. 
<P>

<F->
        
       _^
       _  ^
 *b*   _    ^ *c*
       _      ^
       _        ^      
       _::       ^              
  *m*  __-_   *n*   ^
j:::::::j::j:::::::::::h
         *a*
<F+>
 
  Somando essas igualdades membro a membro, obtemos: b2+c2=
 =am+an; b2+c2=a`(m+n`). 
  Observando que m+n=a, temos: b2+c2=a"a; b2+c2=a2. 
   isso que queramos demonstrar. 

<98>
Exemplo 

  Conhecendo as medidas de dois lados de um tringulo retngulo {a{b{c, pode-se calcular a medida do terceiro lado, usando o teorema de Pitgoras. 

<F->
82+62=a2 
a2=64+36 
a2=100 
a=100=10 portanto, a=10.

  B
   l
   l 
   l   
   l    *a*
8 l    
   l         
   l          
   r::         
   l_-_     
   h::j::::::h
  C   6   A
<F+>

Ateno

  Considere um tringulo de lados *a*, *b* e *c*, com b2+c2=
 =a2. Nada dissemos sobre seus ngulos, mas pode-se demonstrar que esse tringulo tem um ngulo reto. 
<P>
  Em outras palavras, o recproco do teorema de Pitgoras tambm  vlido. 

O teorema de Pitgoras e a 
  diagonal de um quadrado 

  Usando o teorema de Pitgoras, podemos encontrar uma frmula que nos d a medida da diagonal de um quadrado, conhecida a medida do lado. Acompanhe: 
  Considere um quadrado com lados de medida *l*. 
  Supondo *l* conhecido, vamos calcular a medida *d* das diagonais. 

<F->
           _
         ^ _
   *d* ^   _          
     ^     _ *l*               
   ^    !::w                       
 ^      l_-_                
j::::::::h::j
     *l*   
<F+>

  Aplicando o teorema de 
 Pitgoras ao tringulo assi-
 nalado, temos: 

 l2+l2=d2 
 2l2=d2 
 d=2l2 portanto, d=l2. 

  Diagonal do quadrado: d=l2. 

<99>
  Com essa frmula, conhecendo-se a medida dos lados de um quadrado, calcula-se a medida das diagonais e vice-versa. 
  Por exemplo, se o lado do quadrado mede 5 m, sua diagonal mede aproximadamente 7 m porque 5"2^=5"1,41=7,05. 
  Como 2^=1,41, a frmula d=l2 pode ser interpretada 
 assim: em qualquer quadrado, 
 a diagonal mede 41% mais que 
 o lado, aproximadamente.
<P>
Atividades 

<R+>
23. Neste tringulo retngulo, conhecemos as medidas dos catetos. Calcule a medida da hipotenusa. 

<F->
      '
      l
      l   
  12 l   
      l    
      l    
      r::  
      l_-_   
      h::j::::h
          5
<F+>

24. Neste tringulo retngulo, conhecemos as medidas de um cateto e da hipotenusa. Calcule a medida do outro cateto. 
<P>
<F->
      r
      l ^
      l   ^ 
      l     ^ 
  60 l       ^ 61  
      l         ^ 
      r::        ^
      l_-_          ^
      h::j::::::::::::h
<F+>
 
25. (Saresp) A trave ^c?{a{b* torna rgido o porto retangular da figura. Seu comprimento, em centmetros, : 

<F->
   A             
    qccccccccc
    l        _            
    l        _            
    l        _
    l        _ 80 cm
    l        _
    l        _
    l        _
    l        _
    l        _
    v---------   
      60 cm B
<F+>
<P>
a) 140 
 b) 70 
 c) 100 
 d) 140

26. Num retngulo com 21 cm de comprimento, as diagonais tm 29 cm. Qual  a largura do retngulo? 

<F->
   A            D  
    qccccccccccccc
    l^           _            
    l  ^         _            
  x l    ^ 29   _
    l      ^     _
    r::     ^   _
    l_-_       ^ _
    v--#---------#   
   B    21     C
<F+>

27. Neste quadriltero, 
  calcule x. 
<P>
<F->
          9
     pcccccccccc      
     l_-_         
     r::j          
  4 l               x
     r::            
     l_-_             
     v--#--------------u
            12
<F+>

28. Um quadrado tem lados de 
  10 cm. Calcule a medida de suas diagonais. (Use a frmula que foi deduzida.)
 29. Em qualquer tringulo issceles {a{b{c, de base ^c?{b{c*, a altura ^c?{a{h* divide a base ao meio. Lembrando-se disso, calcule a altura ^c?{a{h* desse tringulo issceles. 
  {c{b=8 
  {a{c=5 
  {a{b=5 
<F->
<P>

              A
              _
            ^ _ ^
          ^   _   ^
        ^     _::  ^
      ^       __-_    ^ 
     ---------#--#------u
    C        H        B
<F+>

<100>
30. Calcule a medida dos lados de um losango que tem diagonais de 6 cm e 8 cm. Lembre-se de que as diagonais so perpendiculares e se cortam ao meio. 
 31. Esta figura representa 
  um tringulo acutngulo 
  qualquer. Demonstre que b2+y2=c2+x2. 
<P>

<F->
           A
            .
           l^
           l  ^
           l    ^
    *b*    l      ^ *c*     
           l *h*    ^
           l          ^      
           r::         ^              
           l_-_           ^
   j::::::::h::j:::::::::::::h
  C  *x*  H      *y*      B
<F+>
 
32. Um tringulo tem lados de 
  9 cm, 40 cm e 41 cm. Sem desenh-lo, diga se ele  um tringulo retngulo. 
  Resoluo: 
  Chamando de *a* a medida do lado maior e de *b* e *c* a dos lados menores, temos: 
  b2+c2=92+402=81+
  +1.600=1.681 
  a2=412=1.681. 
  Portanto, b2+c2=a2. 
  Ento, pelo recproco do teorema de Pitgoras, conclumos que o tringulo com lados de 9 cm, 40 cm e 41 cm  um tringulo retngulo. 

33. Em cada caso, so dadas as medidas dos trs lados de um tringulo. Diga se o tringulo  retngulo. 
 a) 61 cm, 60 cm e 10 cm 
 b) 9,9 cm, 10,1 cm e 2 cm 

34. Na construo de uma casa, os pedreiros marcam a direo das paredes com barbantes, presos por estacas. Para verificar se os barbantes esto perpendiculares, eles fazem um teste: medem 3 m e 4 m, a partir do canto A. Depois, eles ligam com barbante as estacas B e C. 
  Os pedreiros sabem que se ^c?{b{c* medir 5 m, o ngulo :{a  reto, porque valer a relao de Pitgoras: 32+42=52. Agora, use a imaginao e o raciocnio e 
  responda: 
<P>
 a) Se ^c?{b{c* medir 4 m e 94 cm, o ngulo :{a ser agudo ou obtuso? Por qu? 
 b) E se ^c?{b{c* medir 5,2 m, que tipo de ngulo ser :{a? 

Pensando em casa

35. (Saresp) A altura de uma rvore  7 m. Ser fixada uma escada a 1 m de sua base para que um homem possa podar os seus galhos. Qual o menor comprimento que esta escada dever ter? 
 a) 23 m 
 b) 43 m 
 c) 52 m 
 d) 72 m 
 
<101> 
36. Quanto medem os lados do tringulo retngulo {a{b{c da figura? (As medidas esto em centmetros.) 
<P>

<F->
           A
            
           _
           _  
           _    
   x+8    _ x             
           _        
           _                
        !::w                       
        l_-_           
   j:::::h::j
  C  x-1 B
<F+>

37. Um retngulo tem 9 m de comprimento e 7 m de largura. Quanto medem as suas diagonais?
 38. Quanto medem os lados do tringulo retngulo {a{b{c? (As medidas esto em centmetros.) 
<P>
<F->
              A
              _
            ^ _        
          ^ 6_  
        ^     _         
      ^       _::               
    ^         __-_  
   j:::::::::::j::j:::h
  B   x+5   H  x  C
<F+>

39. Num losango, a diagonal maior tem 16 cm e os lados tm 10 cm. Quanto mede a diagonal menor?
 40. Calcule a medida das diagonais do trapzio {a{b{c{d da figura. (As medidas esto em centmetros.) 

<F->
     A   9  B
      pcccccccc      
      l_-_       ^
      r::j         ^
  12 l              ^
      r::             ^
      l_-_               ^
      v--#-----------------u
     C      16          D
<F+>
<P>
41. Diga se o tringulo  acutngulo, retngulo ou obtusngulo, sabendo que seus lados
  medem: 
 a) 6 cm, 6 cm e 62 cm; 
 b) 5 cm, 20 cm e 21 cm; 
 c) 1,1 cm, 6 cm e 6,1 cm.

42. Qual  a medida exata do lado de um quadrado cuja diagonal mede 10 cm?

43. (Saresp) Na figura _`[no adaptada_`], os vrtices do quadrado {a{b{c{d esto sobre uma circunferncia de centro O. Se o lado desse quadrado mede 3 cm, o raio da circunferncia, em centmetros, : 
 a) 33 
 b) 32 
 c) 322
 d) 32 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

44. A figura _`[no adaptada_`] mostra uma antena retransmissora de rdio de 72 m de altura. 
  Ela  sustentada por 3 cabos de ao que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que esto a 30 m do p da antena. Quantos metros de cabo foram gastos para sustentar a antena? 
 45. Esta figura _`[no adaptada_`]  formada de oito tringulos retngulos, todos eles tendo um cateto de 1 cm. Calcule a medida de ^c?{a{b*. (As medidas esto em centmetros.) 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<102>
Desafios e surpresas

2. Na figura _`[no adaptada_`], temos dois quadrados: {a{b{c{d, com lados de 23 cm, e {e{f{g{h, com lados de 17 cm. Sendo 
<P>
  {e{b>{b{f, d as medidas de {e{b e {b{f. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

3. No mapa, as cidades A, B e C so vrtices de um tringulo retngulo, sendo que o ngulo reto  :{a. A estrada ^c?{a{b* tem 40 km e a estrada ^c?{b{c* tem 50 km. As montanhas impedem a construo de uma estrada que ligue diretamente A com C. 

_`[{mapa adaptado_`]
 Legenda: m: montanha

<F->
        A
        ^
          ^
            mm
              ^
    ------------u
   B           C
<F+>

  Por isso, ser construda uma estrada da cidade A para a estrada ^c?{b{c*, de modo que ela seja a mais curta possvel. 
 a) Qual  o comprimento da estrada que ser construda? 
 b) O ponto onde essa estrada 
  encontra a estrada ^c?{b{c* 
  dista quantos quilmetros da
  cidade C? 
<R-> 

               ::::::::::::::::::::::::

<103> 
4- Aplicaes do teorema de 
  Pitgoras 

  J dissemos que o teorema de Pitgoras  um dos mais famosos da Matemtica. 
  Vamos citar dois motivos para tanta fama: um, a simplicidade da relao b2+c2=a2; outro so as aplicaes desse teorema. 
  Essas aplicaes so numerosas, porque os ngulos retos so encontrados em muitos objetos e figuras. 

Altura do tringulo equiltero

  Considere um tringulo equiltero com lados de medida *l*. Supondo *l* conhecido, vamos calcular a medida *h* das alturas do tringulo. 

<F->
        ' 
       l
       l 
       l   *l*
       l    
   *h* l    
       r::  
       l_-_   
j:::::::h::j::::h  
          l2
<F+>

  Em qualquer tringulo equiltero, a altura  tambm mediana e bissetriz. Nesse caso, a altura divide o lado ao meio. 
  Vamos aplicar o teorema de 
 Pitgoras ao tringulo assina-
 lado: 

 h2+`(l2`)2=l2  
 h2=l2-`(l2`)2
 h2=l2-l24
 h2=3l24 
 h=?3l24* portanto: 
  h=?l3*2. 

  Com essa frmula, conhecendo a medida dos lados de um tringulo equiltero, calcula-se a medida das alturas e vice-versa. 

<104>
Exemplo 

  Um tringulo equiltero tem 
 6 cm de altura. Vamos calcular a medida dos seus lados: 

 h=l32 
 6=l32 logo, l3=12 
 l=123=?123*3=43^=
  ^=4"1,73=6,92.

  Os lados do tringulo medem 6,92 cm. 
  Confira na figura, mas no espere a preciso obtida com os clculos. 

<F->
       . 
      l
      l 
      l  
      l6  
      l    
      l     
------v------u 
<F+>

Retas tangentes e o teorema de 
  Pitgoras 

  Em muitas situaes da geometria, temos retas tangentes e circunferncias. Veja do que se trata: 

<R+>
_`[{figura: uma circunferncia e trs retas_`]
 Legenda: A reta *e*  externa  circunferncia; *t*  tangente e *s*  secante.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Secante vem de seccionar, que significa cortar. 
  Tangente vem de tanger, que significa tocar. 
<105>
  O ponto em que a reta tangente toca a circunferncia, chamado ponto de tangncia,  o ponto da reta mais prximo do centro da circunferncia. 
  Todos os pontos da reta tangente, exceto o ponto T, so externos  circunferncia. Por isso, suas distncias ao centro so maiores que o raio. 
  Agora, ateno para este argumento: 
  Se um segmento une um ponto a uma reta e no  perpendicular a ela, ele  hipotenusa de um tringulo retngulo, formado com o segmento perpendicular. E se ele  hipotenusa, ele  maior que o segmento perpendicular. 
<P>

<F->
            O
             
            _
            _  
            _              
            _                
         !::w                       
         l_-_           
r ::::j:::h::j:::::
     Q     P
<F+>

<R+>
Legenda: ^c?{o{q* no  perpendicular a *r*; ^c?{o{q*  hipotenusa do tringulo {o{p{q; ^c?{o{q*o^c?{o{p*.
<R->

  Assim, conclumos que o menor segmento que une um ponto a uma reta  perpendicular  reta. 
  Por isso, sempre h um raio da circunferncia perpendicular  tangente, no ponto de tangncia. Isso porque j vimos que o raio  o menor segmento que une o centro da circunferncia  tangente. 
  Para concluir: sempre que h uma reta tangente a uma circunferncia,  provvel que o teorema de Pitgoras seja usado. Um exemplo interessante vem logo a seguir. 

<106>
A que distncia est a linha do 
  horizonte? 

  Do alto do morro do Po de 
 Acar, no Rio de Janeiro, em uma altitude de aproximadamente 400 m, estou olhando para a linha do horizonte, onde o cu e o mar parecem se encontrar. A que distncia estarei dessa linha do horizonte? 
  Com o teorema de Pitgoras, eu posso calcular essa distncia. Veja a representao da Terra e o ponto A, onde eu estou. 

<R+>
_`[{figura no adaptada seguida por legenda_`]
 Legenda: Olhando na direo ~:,{a{b, vejo o mar; na direo ~:,{a{d, o cu; na direo ~:,{a{c, a linha do horizonte.
<R->
<P>
  Lembre-se de que a reta tangente  circunferncia  perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangncia. 

<R+>
_`[{a circunferncia no foi adaptada. A seguir, o desenho do tringulo {a{o{c, onde um dos lados  o raio da Terra_`]

<F->
A    *d*    C  
^cccccccccpcc
  ^       l_-_  
    ^     h::w
      ^      _ *r*  
    r+h ^    _
          ^  _         
            ^_
              ^
             O
<F+>

Legenda: *r*  o raio da Terra; *d*  a distncia a que eu estou da linha do horizonte; :{c  o ngulo reto; *h*  a altura do morro do Po de Acar. 
<R->

  Aplicando o teorema de 
 Pitgoras ao tringulo retngulo {a{o{c, temos: d2+r2=`(r+h`)2. 
  Como o raio da Terra tem 6.370 km, ou 6.370.000 m, podemos escrever: 

 d2+6.370.0002=6.370.4002 
 d2=6.370.4002-6.370.0002 
 d=5.096.160.000^=71.000. 

  Portanto, a linha do horizonte que uma pessoa v, quando est no alto do Po de Acar, est a aproximadamente 71 km de distncia dessa pessoa. 

<107>
Atividades

<R+>
46. Nestas figuras, os 
  tringulos so equilteros. Calcule *x*. 
<P>
 a)
<F->
         "
        l
        l    
  16   lx            
        l        
        r::             
        l_-_                      
  ------v--}---u   
<F+>

b) 
<F->
         "
        l
        l    
        l             
        l5      
        r::             
        l_-_                      
  ------v--}---u                            
     x
<F+>

_`[{para as atividades de 47 a 50, pea orientao ao professor_`]

47. Nesta figura _`[no adaptada_`], O  o centro da circunferncia, ~:,?{a{t*  tangente  circunferncia, {o{t=3 cm e {a{t=4 cm. Calcule a medida de ^c?{a{o*. 

48.  surpreendente, mas toda vez que, por um ponto fora da circunferncia, voc traa dois segmentos tangentes a ela, os dois segmentos tm a mesma medida. Veja a figura _`[no adaptada_`]: {o{t1  congruente a {o{t2. 
  Voc vai provar, com nossa ajuda, que {p{t1 e {p{t2 so congruentes. 
 a) Aplique o teorema de 
  Pitgoras no tringulo {p{o{t1 e obtenha a medida {p{t1. Claro que o resultado no ser um nmero, mas uma frmula algbrica. 
 b) Faa o mesmo para o tringulo {o{p{t2 e obtenha a medida {p{t2. 
 c) Escreva sua concluso.
<P>
49. Estas quatro circunferncias _`[no adaptadas_`] se tangenciam mutuamente. A maior tem raio de 30 cm, e a menor, de *r* cm. M, I, A e U so centros das circunferncias; A  um ponto de tangncia, S  outro. 
 a) D a medida de ^c?{a{u*. 
 b) Apresente a expresso em *r* que d a medida de ^c?{m{a*, 
  em cm. `(Note que {a{s=30 cm e {m{s=r.`) 
 c) Apresente a expresso em *r* que d a medida de ^c?{m{u*, 
  em cm. 
 d) Se voc prestar ateno ao tringulo {m{a{u, poder calcular *r*. Faa isso.

50. {a{b{c{d  um quadrado com lados de 6 cm e ^c?{b{d*  a altura do tringulo equiltero {b{e{f. Quanto mede ^c?{b{e*? 

_`[{um quadrado e um tringulo no adaptados_`]

<108>
<P>
Pensando em casa

51. Um rob, percorrendo os lados ^c?{a{b* e ^c?{b{c* de um quadrado, andou 15 m. Quantos metros ele andaria a menos se tivesse ido diretamente de A para C? (Resposta com aproximao de uma casa decimal.) 
 52. Na figura _`[no adaptada_`], {a{b{c{d  um quadrado com lados de 56 cm, e {a{c{e e {a{c{f so dois tringulos equilteros. Quanto medem as diagonais do losango {a{f{c{e? 

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  pea orientao ao professor  y
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53. Na figura, {a{b{c  um tringulo issceles de base ^c?{b{c*. Calcule a medida da altura ^c?{a{h*. 
<P>

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         A
          '
         l
         l    
         l   10          
         l        
         r::             
         l_-_                      
   ------v--#---u   
  B     H     C 
   r:::::::::::::w
         12
<F+>

54. Na figura _`[no adaptada_`], O  centro da circunferncia, ~:,?{s{t*  tangente  circunferncia; {s{t=62 cm e :?{t{s{o*=45. Calcule a medida de ^c?{s{o*. 

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  pea orientao ao professor  y
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<F+>
<P>
55. O nmero 2  irracional. Sua representao decimal  infinita e no peridica: 2=1,4142135... Apesar disso,  possvel construir um segmento com essa medida. Como se faz?

56. Nos cubos, todas as faces so quadrados. Considere um cubo em que as arestas (como ^c?{a{b*, ^c?{b{f*, ^c?{f{g* etc.) medem 10 cm. Calcule a medida de: 
 a) ^c?{h{f*, que  diagonal de uma face do cubo; 
 b) ^c?{h{b*, que  diagonal do cubo. 

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  pea orientao ao professor  y
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57. Do alto de uma colina de 
  50 m de altura, uma pessoa avista bem na linha do horizonte uma cidade que est a 25 km de distncia. Com esses dados, ela calculou o raio do planeta Terra. Mostre que clculos ela deve ter feito e diga que medida deve ter encontrado. (Essa pessoa obter apenas um valor aproximado, um tanto diferente dos valores obtidos nas medies dos cientistas.) 

Desafios e surpresas

4. Este problema aparece num livro do sculo XII, de autoria do matemtico *Bhaskara*. Resolva-o. 
  "Um pavo est no alto de uma coluna vertical de 6 m de altura, ao p da qual fica a toca de uma cobra. De repente, o pavo v a cobra, que est a 18 m da toca. A cobra tambm v o pavo, e corre para a toca. O pavo faz um voo em linha reta e alcana a cobra antes que ela atinja a toca. Pobre cobra! 
  Sabendo que o pavo voou a mesma distncia percorrida pela cobra, diga a quantos metros da toca a cobra foi alcanada." 
 5. Nesta figura, a reta *t*  tangente s trs circunferncias _`[no adaptadas_`], que tambm se tangenciam mutuamente. 
  As duas circunferncias maiores tm raio R; a circunferncia menor tem raio *r*. 
  Usando o teorema de Pitgoras, mostre que, nessa situao, sempre se tem r=R4. 
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  pea orientao ao professor  y
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<110>
Ao sobre o teorema de 
  Pitgoras  

O teorema de Pitgoras e as 
  figuras espaciais 

  Nesta Ao voc usar o teorema de Pitgoras em "trs dimenses", ou seja, aplicado a figuras espaciais. Para isso,  preciso que voc compreenda como aparecem tringulos retngulos nessas situaes. 
  Vamos tomar como exemplo uma pirmide, com o mesmo padro das famosas pirmides do Egito antigo. Elas so formadas por um quadrado (base) e tringulos equilteros (faces laterais). 
  No interior dessas pirmides, pode-se imaginar um segmento que une o vrtice V ao centro M da base (ponto onde se cruzam as diagonais do quadrado). Esse segmento forma ngulo reto com qualquer reta que passa por M. Isso produz diversos tringulos retngulos, dois dos quais aparecem nas ilustraes _`[no adaptadas_`]. 
<111> 
  Vimos como Tales, usando a sombra da pirmide, calculou a 
 altura dela (no item 3 do captulo 1). Entretanto, mesmo sem essa situao favorvel,  possvel calcular a altura de uma "pi-
<P>
 rmide egpcia", conhecendo a medida da aresta. Veja dois mtodos: 

1 mtodo

<R+>
_`[{desenho de uma pirmide no adaptada_`]

a) Calcula-se a altura *h* da face usando o teorema de Pitgoras, pois `(a2`)2+h2=a2.
 b) Calcula-se a altura ^c?{v{m* da pirmide usando o teorema de Pitgoras no tringulo de lados ^c?{v{m*, a2, *h*. 

<112> 
2 mtodo 

_`[{desenho de uma pirmide no adaptada_`]
 
a) Calcula-se metade da diagonal da base. (Lembre-se de que a base  um quadrado.) 
<P>
 b) Calcula-se a altura ^c?{v{m* da pirmide, usando o teorema de Pitgoras no tringulo de lados ^c?{v{m*, d2, *a*.
  Agora, vamos  Ao! 
  Cada grupo de alunos dever 
  construir uma pirmide em cartolina. 
  A aresta dever medir entre 
  15 cm e 20 cm.

1. Na sala de aula, cada grupo mede a altura de sua pirmide, como se medisse a altura de uma pessoa.
 2. Depois, deve-se medir apenas uma aresta e calcular a altura da pirmide, usando um dos mtodos sugeridos anteriormente (ou algum outro que o grupo desco-
  brir). Nesses clculos, convm usar calculadora. 
<R->
<P>
  Ser que a altura obtida pelo clculo  igual quela obtida medindo-se a pirmide?

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  pea orientao ao professor  y
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               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte


